Fiche pédagogique n°05c :

Formulaires de calcul de la parallaxe solaire

à partir de l’observation des distances entre Vénus et le centre du Soleil

 

J.-E. Arlot, P. Rocher (IMCCE)                                                                    vendredi 31 décembre 2004

I.Introduction

Dans cette fiche nous allons donner un formulaire simple permettant de calculer une approximation de la parallaxe solaire (et donc l’Unité Astronomique ou UA) à partir de l’observation de la distance entre Vénus et le centre du Soleil. Contrairement au cas des contacts pour lequel nous avons besoin de deux observations éloignées, nous n’utiliserons qu’une seule observation avec la méthode dite « linéaire » qui compare la valeur observée de cette distance à la valeur théorique calculée. La différence entre ces deux valeurs nous permettra de corriger la valeur de la parallaxe solaire théorique utilisée dans les calculs. C’est en fait une méthode itérative mais nous nous limiterons à la dernière itération. Le but –pédagogique- de ce calcul, est de montrer que la valeur de l’UA calculée dépend de la qualité de la mesure de distance et aussi du lieu d’observation. Il sera intéressant de faire plusieurs calculs à partir d’observations faites à différents instants depuis le même lieu ou depuis des lieux éloignés pour comparer les valeurs obtenues et les moyenner.

Coefficients pré-calculés

Pour obtenir ce formulaire, nous avons pré calculé des paramètres A, B, C et D qui ne dépendent pas de la position des observateurs mais qui rendent compte des mouvements de Vénus et de la Terre autour du Soleil ainsi que du mouvement de rotation de la Terre autour de son axe.  Attention, ils dépendent du temps et ont été tabulés en conséquence. Le paramètre dD/dt représente la variation instantanée de la distance du centre de Vénus au centre du Soleil. On peut donc ainsi calculer la valeur théorique de la distance mesurée et réduire l’observation (en déterminant une nouvelle valeur de la parallaxe –ou de l’UA-) en tenant compte du fait que les observateurs et les centres de Vénus, de la Terre et du Soleil ne sont pas dans le même plan et en intégrant le rapport des distances au Soleil et à Vénus donné par la troisième loi de Kepler. On trouvera ces tables à la fin de cette fiche.

Valeur mesurée d entre Vénus et le centre du Soleil

II Observation de la distance de Vénus au centre du Soleil

Les données numériques dont vous devez disposer sont les suivants :

-         latitude et longitude du lieu d’observation (l, j)

-         la distance du centre de Vénus au centre du Soleil (voir figure ci-dessus) en minutes de degré

-         l’instant de l’observation en Temps Universel (UTC)

Les formules à appliquer sont les suivantes :

- transformation de la latitude géographique j du lieu en latitude géocentrique j‘ :

h est l’altitude du lieu, R le rayon terrestre que l’on prendra égal à 6378,140 km et f l’aplatissement terrestre que l’on prendra égal à 1/298,257

etcos u et sin u sont déduits de tan u

 

- calcul de la valeur approchée Dp de la distance théorique Dc Vénus-Soleil en utilisant les coefficients pré-calculés A, B, C et D donnés en fin de fiche

 (F2)

p0 =  8,79414" et où r cos j et r sin j sont calculés ci-dessus

- calcul de la nouvelle parallaxe solaire et donc de la nouvelle UA :

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante:

 (F3)

D0 est notre mesure d  exprimée en secondes de degré et A, B, C, dD/dt donné en fin de fiche

La parallaxe solaire déduite de notre observation est donc égale à p0 + dp0 soit 8,79414 + dp0

 

Pour faire le calcul, remplissez la feuille de calcul  « distance » ci-après.

 


Feuille de calcul « distance » :

calcul de la parallaxe solaire à l’aide de l’observation de la distance entre Vénus et le centre du Soleil

(moyenner un grand nombre d’observation est nécessaire pour obtenir un résultat correct)

 

 

longitude géographique l =

latitude géographique j =

distance observée (Vénus – Soleil) : d =                                                         en minutes de degré

instant de l’observation en Temps Universel (UTC) =

- transformation de la latitude géographique en latitude géocentrique :

(1) latitude géographique j =

(2) Calculez le cosinus de j : cos (j ) =

(3) Calculez le sinus de j : sin (j) =

(4) Altitude du lieu d’observation h =                                         en mètres

(5) Calculez tan u = (1 – 1/298,257) x tan (ligne (1)) =

(6) Calculez l’angle u (qui reste entre -90° et +90°) = arctan (ligne(5)) =

(7) Calculez le cosinus de u = cos (ligne(6)) =

(8) Calculez le sinus de u = sin (ligne(6)) =

(9) Calculez (r cos j’) = cos u + (h/6378140) cos j

= ligne (7) + [(ligne (4)/6378140) x ligne (2)] =

(10) Calculez (r sin j’) = (1 – 1/298,257) x sin u + (h/6378140) sin j

 = (1 – 1/298,257) x ligne (8) + [(ligne(4)/6378140) x ligne (3)]  =

- calcul de la distance théorique « Vénus-Soleil » :

(11) Calculez le cosinus de l : cos l =

(12) Calculez le sinus de l : sin l =

(13) Calculez (r cos j’ cos l) = ligne (9) x ligne (11) =

(14) Calculez (r cos j’ sin l) = ligne (9) x ligne (12) =

(15) Déterminez A à partir de la table en fin de fiche : A =

(16) Déterminez B à partir de la table en fin de fiche : B =

(17) Déterminez C à partir de la table en fin de fiche : C =

(18) Calculez le coefficient de p0  dans la formule (F2) :

= ligne (15) x ligne (13) + ligne (16) x ligne (14) +ligne (17) x ligne (10) =

(19) Déterminez D à partir de la table en fin de fiche : D =

(20) Calculez le deuxième membre de la formule (F2) i.e. la valeur de Dthéorique :

         = ligne (19) + 8,79414 x ligne (18) =

- calcul de la nouvelle parallaxe solaire :

(21) Votre mesure de dobservée en secondes de degré =

(22) La différence « observé – calculé » = ligne (21) – ligne (20) =

(23) Correction de parallaxe déduite de l’observation = ligne (22) / ligne (18) =

(24) Nouvelle parallaxe solaire p0 = 8,79414 + ligne (25) =

- calcul de l’unité astronomique :

(25) Calculez l’unité astronomique :

UA = ligne (24) x (206265,806247 / 6 378,1363) =

 

Vous pouvez refaire le calcul pour d’autres valeurs observées et mesurées de la distance Vénus-Soleil soit sur le même site, soit sur d’autres sites et moyenner les résultats
 

 

On rappelle que cette méthode n’est pas exacte, et que l’on doit utiliser des formules plus complexes pour réduire les observations (voyez les fiches n°4 et 5).  Même si vos observations sont parfaites, vous n’obtiendrez qu’une valeur approchée de l’unité astronomique.

 

Coefficients pré-calculés à employer dans le formulaire ci-dessus :

Les deux tableaux suivants donnent les valeurs des paramètres A, B, C, dD/dt, D avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Les trois premiers paramètres sont sans dimension, dD/dt est en secondes de degré par minute de temps, D est en minutes de degré.

 

T

UTC

A

B

C

dD/dt
"/min

D

'

5h05m

2.2768

-0.1279

0.9656

-3.1409

16.6791

5h10m

2.2682

-0.0645

0.9919

-3.1085

16.4202

5h15m

2.2571

-0.0011

1.0189

-3.0746

16.1641

5h20m

2.2436

0.0622

1.0465

-3.0389

15.9108

5h25m

2.2275

0.1254

1.0749

-3.0016

15.6606

5h30m

2.2088

0.1882

1.1039

-2.9624

15.4135

5h35m

2.1874

0.2507

1.1336

-2.9214

15.1697

5h40m

2.1634

0.3128

1.1640

-2.8783

14.9295

5h45m

2.1365

0.3742

1.1951

-2.8331

14.6928

5h50m

2.1067

0.4350

1.2269

-2.7857

14.4601

5h55m

2.0741

0.4950

1.2594

-2.7359

14.2313

6h00m

2.0385

0.5540

1.2925

-2.6837

14.0068

6h05m

1.9998

0.6119

1.3263

-2.6290

13.7867

6h10m

1.9581

0.6686

1.3607

-2.5716

13.5712

6h15m

1.9133

0.7239

1.3957

-2.5115

13.3607

6h20m

1.8653

0.7776

1.4313

-2.4484

13.1552

6h25m

1.8142

0.8297

1.4674

-2.3824

12.9550

6h30m

1.7598

0.8797

1.5040

-2.3133

12.7605

6h35m

1.7022

0.9277

1.5410

-2.2411

12.5718

6h40m

1.6414

0.9734

1.5783

-2.1655

12.3892

6h45m

1.5774

1.0166

1.6159

-2.0866

12.2131

6h50m

1.5103

1.0570

1.6537

-2.0043

12.0436

6h55m

1.4400

1.0945

1.6916

-1.9185

11.8811

7h00m

1.3667

1.1288

1.7294

-1.8291

11.7258

7h05m

1.2904

1.1598

1.7671

-1.7363

11.5781

7h10m

1.2113

1.1871

1.8045

-1.6399

11.4382

7h15m

1.1295

1.2107

1.8415

-1.5401

11.3064

7h20m

1.0452

1.2302

1.8780

-1.4368

11.1831

7h25m

0.9586

1.2455

1.9138

-1.3301

11.0684

7h30m

0.8699

1.2564

1.9488

-1.2203

10.9628

7h35m

0.7793

1.2628

1.9827

-1.1073

10.8663

7h40m

0.6872

1.2644

2.0154

-0.9914

10.7794

7h45m

0.5938

1.2612

2.0469

-0.8729

10.7021

7h50m

0.4995

1.2531

2.0768

-0.7520

10.6348

7h55m

0.4046

1.2400

2.1051

-0.6289

10.5776

8h00m

0.3095

1.2220

2.1316

-0.5039

10.5306

8h05m

0.2147

1.1989

2.1563

-0.3775

10.4941

8h10m

0.1204

1.1709

2.1789

-0.2499

10.4681

8h15m

0.0271

1.1380

2.1993

-0.1216

10.4527

8h20m

-0.0647

1.1004

2.2176

0.0071

10.4480

8h25m

-0.1548

1.0583

2.2336

0.1357

10.4539

8h30m

-0.2428

1.0118

2.2473

0.2640

10.4704

8h35m

-0.3282

0.9611

2.2586

0.3914

10.4976

8h40m

-0.4108

0.9065

2.2677

0.5177

10.5353

8h45m

-0.4901

0.8484

2.2744

0.6424

10.5833

 


 


T

UTC

A

B

C

dD/dt
"/min

D

'

8h50m

-0.5661

0.7869

2.2789

0.7653

10.6417

8h55m

-0.6383

0.7224

2.2811

0.8860

10.7101

9h00m

-0.7067

0.6552

2.2813

1.0043

10.7884

9h05m

-0.7709

0.5857

2.2794

1.1198

10.8764

9h10m

-0.8310

0.5141

2.2755

1.2324

10.9739

9h15m

-0.8867

0.4409

2.2699

1.3419

11.0806

9h20m

-0.9380

0.3663

2.2625

1.4482

11.1962

9h25m

-0.9849

0.2905

2.2535

1.5511

11.3204

9h30m

-1.0273

0.2140

2.2432

1.6506

11.4531

9h35m

-1.0653

0.1370

2.2314

1.7466

11.5938

9h40m

-1.0989

0.0598

2.2185

1.8390

11.7424

9h45m

-1.1281

-0.0175

2.2045

1.9279

11.8985

9h50m

-1.1531

-0.0945

2.1896

2.0133

12.0618

9h55m

-1.1740

-0.1711

2.1738

2.0953

12.2320

10h00m

-1.1908

-0.2471

2.1573

2.1738

12.4089

10h05m

-1.2036

-0.3222

2.1402

2.2490

12.5921

10h10m

-1.2127

-0.3964

2.1225

2.3209

12.7814

10h15m

-1.2181

-0.4696

2.1044

2.3896

12.9766

10h20m

-1.2200

-0.5414

2.0860

2.4553

13.1773

10h25m

-1.2184

-0.6120

2.0673

2.5180

13.3833

10h30m

-1.2137

-0.6811

2.0484

2.5778

13.5945

10h35m

-1.2058

-0.7488

2.0293

2.6349

13.8104

10h40m

-1.1950

-0.8148

2.0102

2.6893

14.0310

10h45m

-1.1813

-0.8792

1.9911

2.7412

14.2560

10h50m

-1.1649

-0.9419

1.9719

2.7907

14.4852

10h55m

-1.1460

-1.0028

1.9529

2.8379

14.7183

11h00m

-1.1247

-1.0620

1.9339

2.8828

14.9553

11h05m

-1.1010

-1.1194

1.9151

2.9257

15.1960

11h10m

-1.0752

-1.1749

1.8964

2.9665

15.4401

11h15m

-1.0473

-1.2286

1.8779

3.0055

15.6875

11h20m

-1.0175

-1.2804

1.8596

3.0426

15.9380

11h25m

-0.9858

-1.3303

1.8415

3.0780

16.1916

11h30m

-0.9524

-1.3783

1.8237

3.1118

16.4480

11h35m

-0.9174

-1.4244

1.8061

3.1440

16.7072