Fiche pédagogique n° 04c :
Exemples de calcul de la parallaxe à partir des observations.

(avec les données pour la réduction des observations)

P. Rocher (IMCCE)                                                                         

I.Introduction

Nous allons donner une série d’exemples de calcul de la valeur de la parallaxe à l’aide des formules que nous avons développées précédemment.

Nous allons nous placer à l’observatoire de Paris dont les coordonnées sont les suivantes :

j = 48° 50' 11,2" nord, l = 2° 20' 13,8"est (9min 20,92s est) et h = 67m.

Le rayon terrestre R est égal à : 6378,140 km

Nous allons tenir compte de l’aplatissement terrestre f = 1/298,257.

En utilisant les formules suivantes on peut déterminer la latitude géocentrique j' et le facteur r.

j' = 48° 38' 44,38" et r = 0,9981171849.

r sinj' = 0,7492245345 et r cosj' = 0,6594698717.

La parallaxe équatoriale solaire p0 = 8,79414".

Exemple 1

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au parallèle céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Xo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir un instant de la tabulation pour notre exemple : 6h 5m UTC.

Nous allons calculer une valeur approchée Xc de Xp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 2 fiche VI) :

 

 

où l’on peut développer le sinus et faire apparaître les paramètres j et k  (j = –W.sin HG, k = W.cos HG).

 

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

X = 11,2181', j = 2,4756 et k = 0,0644.

Ce qui donne U = 0,2388' et Xc = 11,4569'. Le calcul rigoureux, sans approximation, donne Xc = 11,4574' soit une différence de 0,03".

Supposons que l’on observe par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Le demi-diamètre apparent du Soleil étant de l’ordre de 945,4" la projection d’une seconde de degré mesure 0,106mm et le rayon de la projection de Vénus mesure environ 3mm. On se rend compte de la difficulté de réaliser une mesure précise. Supposons que vous mesuriez une projection Xo au centre du Soleil égale à 7,28 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Xo = 11,4708' avec une incertitude de DXo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 4 fiche VI) :

le coefficient de dp0 est égal à 1,6295 et dX/dt est égal à –3,9166"/min.

La différence de la valeur observée et de la valeur calculée est de –0,0134' (–0,8072"), si l’on exprime tout en secondes de degré nous trouvons :

Ce qui donne pour la parallaxe équatoriale moyenne :

 

Cet exemple montre l’importance de la précision dans la mesure de X et l’influence de la précision du temps d’observation. Le demi-millimètre de précision dans la mesure de X produit des incertitudes de l’ordre de trois secondes de degré sur la valeur de la parallaxe ! Alors qu’une erreur d’une seconde sur l’instant d’observation ne produit qu’une incertitude de 0,04" sur la valeur de la parallaxe.

Exemple 2

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au méridien céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Yo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir le même instant de la tabulation pour notre exemple : 6h 5m UTC.

Nous allons calculer une valeur approchée Yc de Yp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 5 fiche VI) :

où l’on peut développer le cosinus et faire apparaître les paramètres l, m et n (Wsind cosHG, m = Wsind sinHG, n = –W cosd)

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

Y = -8,0142', l = 0,0251, m = –0,9625 et n = –2,2816.

Ce qui donne U = –0.2443' et Yc = –8.2585'.

Le calcul exact sans approximation donne Yc = –8,2590' soit une différence de 0,03".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Yo au centre du Soleil égale à –5,25 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Yo = -8,2723' avec une incertitude de DYo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 7 fiche VI) :

 

Le coefficient de dp0 est égal à –1,6670 et dY/dt est égal à –0,9595"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

On constate de nouveau l’importance de l’erreur introduite par l’incertitude de la mesure de Y.

Exemple 3

Mesure de la distance angulaire entre les centres de Vénus et du Soleil.

Nous avons noté Do cette valeur.

Nous utilisons toujours le même instant t=6h 05m.

Nous pouvons calculer une valeur approchée Dc de Dp par la formule suivante (cf. formule 11 fiche VI) :

Pour l’instant les tableaux de données fournissent :

D = 13,7867', A = 1,9998, B = 0,6119, C = 1,3263.

Ce qui donne Dc = 14,1231', le calcul rigoureux, sans approximation donne 14,1239', soit un écart de 0,048".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Do au centre du Soleil égale à 8,97 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Do = 14,1337' avec une incertitude de DYo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 13 fiche VI) :

Le coefficient de dp0 est égal à 2,2949 et dD/dt est égal à –2,6290"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

De nouveau on constate l’importance de l’incertitude de la mesure sur D.

Commentaires historiques

Quelles étaient ces valeurs pour les observations du XIXe siècle ?

L’observation photographique à l’île St-Paul en 1874.

Les plaques (110mm x 68mm) prises à l’île St-Paul par l’équipe du commandant Mouchez, produisaient une image du Soleil de l’ordre de 31mm, les mesures faites donnent le rapport suivant 1mm sur les clichés correspond à 54,4974" dans le sens horizontal et 54,402" dans le sens horizontal, les instants des clichés étaient donnés au dixième de seconde de temps. La lunette photographique avait un objectif de 135 millimètres d’ouverture et une distance focale de 3,80m, l’image du Soleil était projetée sur la plaque photographique qui se trouvait à 43mm de l’objectif. Les instants de prise de vue étaient enregistrés à l’aide d’un chronographe électrique couplé à une pendule sidérale. Au total les observateurs de l’île St-Paul ramenèrent 124 plaques daguerriennes représentant 443 poses, et 47 plaques au collodion représentant 142 poses (on effectuait plusieurs poses par plaques).

La réduction des plaques du passage de 1882.

Les mesures des 1019 plaques des passages de 1882 ont été faites de la manière suivante : les clichés étaient agrandis en même temps qu’un réseau de fils. Le réseau de fils avait pour but de mesurer les déformations des plaques, puis le bord du Soleil était pointé 64 fois et le bord de Vénus était pointé 24 fois, ces pointages étaient faits à l’aide de microscopes et la précision était de l’ordre du micron. On déduisait de ces pointés les centres des deux astres et leurs distances. On obtint finalement 900 valeurs des différences entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées réparties sur cinq sites d’observation. Les mesures faites deux fois et par deux personnes à chaque fois correspondent à environ 400000 pointés et 500000 lectures aux micromètres et aux échelles ; l’ensemble des mesures pris plus de quinze mois !

 

Exemple 4

Mesure des instants des contacts intérieurs.

Par exemple le premier contact intérieur à l’observatoire de Paris.

Nous avons vu que l’équation de condition pour un contact peut s’écrire sous la forme suivante (cf. formule 13 fiche VI) :

On peut supposer de nos jours que l’erreur des tables et l’erreur en longitude sont nulles.

L’équation devient alors :

Pour le premier contact intérieur les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

A = 2,1970, B = 0,2237, C = 1,1206, dD/dt = –2,9394"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 5h 39m 41,9s et le calcul rigoureux donne tc = 5h 39m 48,3s, l’écart est de plusieurs secondes, il convient donc d’utiliser le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme dp0 est égal à : 2,2812.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 5h 39m 40s.

On a alors l’équation :

    

Ce qui donne :

Les erreurs sur les demi-diamètres sont exprimées en secondes de degré.

On peut faire un calcul identique pour le dernier contact extérieur.

A = –1,0929, B = –1,1376, C = 1,9090, dD/dt = 2,9391"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 11h 4m 21,9s et le calcul rigoureux donne tc = 11h 4m 20,8s, l’écart n’est que de l’ordre d’une seconde, on utilise malgré tout le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme dp0 est égal à : 0,74073.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 11h 4m 18s.

On a alors l’équation :

    

Ce qui donne :

On peut faire plusieurs remarques sur les valeurs obtenues :

L’erreur de mesure, qui ne porte plus que sur le temps du contact, a un effet sur le résultat bien inférieur aux erreurs de mesure des distances des exemples précédents, néanmoins si l’on désire avoir une précision de l’ordre du centième de seconde de degré avec une seule observation l’erreur en Dt doit être de l’ordre de la seconde de temps.

La mesure de la durée du phénomène s’obtient en faisant la différence des deux équations 8 et 9, on obtient alors une équation où le terme lié aux demi- diamètres disparaît  :

La combinaison des deux équations 8 et 9 permet également de calculer la précision sur la différence des demi-diamètres.

L’usage d’un grand nombre d’observations et la méthode des moindres carrés permettent de trouver les valeurs des deux inconnues (la correction de parallaxe et l’erreur sur la différence des demi-diamètres).


Valeurs des paramètres pour le passage du 8 juin 2004

Les deux tableaux suivants donnent les valeurs des paramètres j, k, l, m, n, dX/dt, dY/dt, cosw et sinw avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Toutes les valeurs sont sans dimension à l’exception de dX/dt et de dY/dt qui sont exprimées en secondes de degré par minute de temps.

T

UTC

j

k

l

m

n

dX/dt

"/min

dY/dt

"/min

cosw

sinw

5h05m

2.4080

-0.5784

-0.2248

-0.9360

-2.2817

-3.9161

-0.9621

-0.4232

0.9060

5h10m

2.4200

-0.5258

-0.2044

-0.9407

-2.2817

-3.9161

-0.9619

-0.4347

0.9006

5h15m

2.4309

-0.4728

-0.1838

-0.9450

-2.2817

-3.9162

-0.9617

-0.4466

0.8948

5h20m

2.4406

-0.4197

-0.1632

-0.9488

-2.2817

-3.9162

-0.9615

-0.4587

0.8886

5h25m

2.4492

-0.3664

-0.1424

-0.9521

-2.2817

-3.9163

-0.9613

-0.4711

0.8821

5h30m

2.4566

-0.3129

-0.1216

-0.9550

-2.2817

-3.9163

-0.9611

-0.4838

0.8752

5h35m

2.4629

-0.2592

-0.1008

-0.9575

-2.2817

-3.9163

-0.9609

-0.4968

0.8678

5h40m

2.4679

-0.2054

-0.0799

-0.9594

-2.2817

-3.9164

-0.9607

-0.5102

0.8601

5h45m

2.4718

-0.1515

-0.0589

-0.9610

-2.2816

-3.9164

-0.9605

-0.5238

0.8518

5h50m

2.4745

-0.0976

-0.0379

-0.9620

-2.2816

-3.9165

-0.9604

-0.5377

0.8431

5h55m

2.4761

-0.0436

-0.0170

-0.9626

-2.2816

-3.9165

-0.9602

-0.5520

0.8339

6h00m

2.4764

0.0104

0.0041

-0.9628

-2.2816

-3.9166

-0.9600

-0.5665

0.8241

6h05m

2.4756

0.0644

0.0251

-0.9625

-2.2816

-3.9166

-0.9598

-0.5813

0.8137

6h10m

2.4736

0.1184

0.0460

-0.9617

-2.2816

-3.9167

-0.9596

-0.5964

0.8027

6h15m

2.4705

0.1723

0.0670

-0.9605

-2.2816

-3.9167

-0.9594

-0.6117

0.7911

6h20m

2.4661

0.2262

0.0879

-0.9588

-2.2816

-3.9167

-0.9592

-0.6273

0.7788

6h25m

2.4606

0.2799

0.1088

-0.9567

-2.2816

-3.9168

-0.9590

-0.6432

0.7657

6h30m

2.4539

0.3335

0.1297

-0.9541

-2.2816

-3.9168

-0.9588

-0.6592

0.7520

6h35m

2.4460

0.3870

0.1505

-0.9511

-2.2816

-3.9169

-0.9586

-0.6754

0.7375

6h40m

2.4370

0.4402

0.1712

-0.9476

-2.2816

-3.9169

-0.9584

-0.6918

0.7221

6h45m

2.4268

0.4933

0.1918

-0.9436

-2.2816

-3.9170

-0.9582

-0.7082

0.7060

6h50m

2.4155

0.5461

0.2123

-0.9392

-2.2816

-3.9170

-0.9580

-0.7248

0.6890

6h55m

2.4030

0.5987

0.2328

-0.9344

-2.2816

-3.9170

-0.9578

-0.7414

0.6711

7h00m

2.3894

0.6509

0.2531

-0.9291

-2.2816

-3.9171

-0.9577

-0.7580

0.6523

7h5m

2.3746

0.7029

0.2733

-0.9234

-2.2816

-3.9171

-0.9575

-0.7745

0.6326

7h10m

2.3587

0.7545

0.2934

-0.9172

-2.2816

-3.9172

-0.9573

-0.7909

0.6119

7h15m

2.3417

0.8058

0.3133

-0.9106

-2.2816

-3.9172

-0.9571

-0.8071

0.5904

7h20m

2.3236

0.8567

0.3331

-0.9035

-2.2816

-3.9173

-0.9569

-0.8231

0.5679

7h25m

2.3043

0.9072

0.3528

-0.8961

-2.2816

-3.9173

-0.9567

-0.8388

0.5444

7h30m

2.2840

0.9572

0.3722

-0.8882

-2.2816

-3.9173

-0.9565

-0.8541

0.5201

7h35m

2.2626

1.0068

0.3915

-0.8799

-2.2815

-3.9174

-0.9563

-0.8690

0.4948

7h40m

2.2401

1.0559

0.4106

-0.8711

-2.2815

-3.9174

-0.9561

-0.8834

0.4687

7h45m

2.2165

1.1045

0.4295

-0.8620

-2.2815

-3.9175

-0.9559

-0.8971

0.4417

7h50m

2.1919

1.1526

0.4482

-0.8524

-2.2815

-3.9175

-0.9557

-0.9103

0.4140

7h55m

2.1662

1.2001

0.4667

-0.8424

-2.2815

-3.9176

-0.9555

-0.9227

0.3856

8h00m

2.1395

1.2471

0.4850

-0.8321

-2.2815

-3.9176

-0.9553

-0.9343

0.3565

8h5m

2.1118

1.2935

0.5030

-0.8213

-2.2815

-3.9176

-0.9551

-0.9451

0.3268

8h10m

2.0831

1.3392

0.5208

-0.8101

-2.2815

-3.9177

-0.9549

-0.9550

0.2966

8h15m

2.0534

1.3843

0.5384

-0.7986

-2.2815

-3.9177

-0.9548

-0.9640

0.2660

8h20m

2.0227

1.4288

0.5557

-0.7867

-2.2815

-3.9178

-0.9546

-0.9720

0.2350

8h25m

1.9911

1.4726

0.5727

-0.7744

-2.2815

-3.9178

-0.9544

-0.9790

0.2038

8h30m

1.9585

1.5157

0.5895

-0.7617

-2.2815

-3.9179

-0.9542

-0.9850

0.1725

8h35m

1.9250

1.5580

0.6060

-0.7487

-2.2815

-3.9179

-0.9540

-0.9900

0.1411

8h40m

1.8905

1.5996

0.6222

-0.7353

-2.2815

-3.9179

-0.9538

-0.9939

0.1098

8h45m

1.8552

1.6405

0.6381

-0.7216

-2.2815

-3.9180

-0.9536

-0.9969

0.0787

 


 

T

UTC

j

k

l

m

n

dX/dt

dY/dt

cosw

sinw

8h50m

1.8190

1.6806

0.6537

-0.7075

-2.2815

-3.9180

-0.9534

-0.9989

0.0477

8h55m

1.7819

1.7198

0.6689

-0.6931

-2.2815

-3.9181

-0.9532

-0.9999

0.0171

9h00m

1.7439

1.7583

0.6839

-0.6783

-2.2815

-3.9181

-0.9530

-0.9999

-0.0131

9h5m

1.7052

1.7959

0.6985

-0.6632

-2.2815

-3.9181

-0.9528

-0.9991

-0.0428

9h10m

1.6656

1.8327

0.7129

-0.6479

-2.2814

-3.9182

-0.9526

-0.9974

-0.0720

9h15m

1.6252

1.8686

0.7268

-0.6322

-2.2814

-3.9182

-0.9524

-0.9949

-0.1006

9h20m

1.5841

1.9036

0.7404

-0.6162

-2.2814

-3.9183

-0.9522

-0.9917

-0.1286

9h25m

1.5422

1.9377

0.7537

-0.5999

-2.2814

-3.9183

-0.9520

-0.9878

-0.1559

9h30m

1.4995

1.9709

0.7666

-0.5833

-2.2814

-3.9183

-0.9519

-0.9832

-0.1824

9h35m

1.4562

2.0031

0.7792

-0.5664

-2.2814

-3.9184

-0.9517

-0.9781

-0.2082

9h40m

1.4122

2.0344

0.7914

-0.5493

-2.2814

-3.9184

-0.9515

-0.9724

-0.2332

9h45m

1.3674

2.0647

0.8032

-0.5319

-2.2814

-3.9185

-0.9513

-0.9663

-0.2574

9h50m

1.3221

2.0940

0.8146

-0.5143

-2.2814

-3.9185

-0.9511

-0.9597

-0.2809

9h55m

1.2761

2.1224

0.8256

-0.4964

-2.2814

-3.9186

-0.9509

-0.9528

-0.3035

10h00m

1.2295

2.1497

0.8363

-0.4783

-2.2814

-3.9186

-0.9507

-0.9456

-0.3253

10h05m

1.1823

2.1760

0.8465

-0.4599

-2.2814

-3.9186

-0.9505

-0.9381

-0.3464

10h10m

1.1346

2.2013

0.8563

-0.4414

-2.2814

-3.9187

-0.9503

-0.9304

-0.3666

10h15m

1.0863

2.2255

0.8658

-0.4226

-2.2814

-3.9187

-0.9501

-0.9224

-0.3862

10h20m

1.0375

2.2487

0.8748

-0.4036

-2.2814

-3.9188

-0.9499

-0.9144

-0.4049

10h25m

0.9882

2.2707

0.8834

-0.3844

-2.2814

-3.9188

-0.9497

-0.9062

-0.4229

10h30m

0.9384

2.2918

0.8916

-0.3651

-2.2813

-3.9188

-0.9495

-0.8979

-0.4402

10h35m

0.8882

2.3117

0.8994

-0.3456

-2.2813

-3.9189

-0.9493

-0.8895

-0.4569

10h40m

0.8376

2.3305

0.9067

-0.3259

-2.2813

-3.9189

-0.9491

-0.8812

-0.4728

10h45m

0.7865

2.3482

0.9136

-0.3060

-2.2813

-3.9190

-0.9489

-0.8728

-0.4881

10h50m

0.7351

2.3648

0.9201

-0.2860

-2.2813

-3.9190

-0.9488

-0.8644

-0.5028

10h55m

0.6834

2.3803

0.9261

-0.2659

-2.2813

-3.9190

-0.9486

-0.8560

-0.5169

11h00m

0.6313

2.3946

0.9317

-0.2456

-2.2813

-3.9191

-0.9484

-0.8477

-0.5305

11h05m

0.5789

2.4078

0.9368

-0.2252

-2.2813

-3.9191

-0.9482

-0.8395

-0.5434

11h10m

0.5263

2.4199

0.9415

-0.2048

-2.2813

-3.9192

-0.9480

-0.8313

-0.5559

11h15m

0.4734

2.4308

0.9458

-0.1842

-2.2813

-3.9192

-0.9478

-0.8232

-0.5678

11h20m

0.4202

2.4405

0.9496

-0.1635

-2.2813

-3.9192

-0.9476

-0.8152

-0.5792

11h25m

0.3669

2.4491

0.9529

-0.1428

-2.2813

-3.9193

-0.9474

-0.8072

-0.5902

11h30m

0.3134

2.4565

0.9558

-0.1219

-2.2813

-3.9193

-0.9472

-0.7994

-0.6008

11h35m

0.2597

2.4628

0.9583

-0.1011

-2.2813

-3.9194

-0.9470

-0.7917

-0.6109

 


 

T

UTC

A

B

C

dD/dt
"/min

D

'

X

'

Y

'

5h05m

2.2768

-0.1279

0.9656

-3.1409

16.6791

15.1118

-7.0588

5h10m

2.2682

-0.0645

0.9919

-3.1085

16.4202

14.7873

-7.1385

5h15m

2.2571

-0.0011

1.0189

-3.0746

16.1641

14.4629

-7.2182

5h20m

2.2436

0.0622

1.0465

-3.0389

15.9108

14.1384

-7.2979

5h25m

2.2275

0.1254

1.0749

-3.0016

15.6606

13.8139

-7.3775

5h30m

2.2088

0.1882

1.1039

-2.9624

15.4135

13.4895

-7.4572

5h35m

2.1874

0.2507

1.1336

-2.9214

15.1697

13.1650

-7.5368

5h40m

2.1634

0.3128

1.1640

-2.8783

14.9295

12.8405

-7.6164

5h45m

2.1365

0.3742

1.1951

-2.8331

14.6928

12.5161

-7.6960

5h50m

2.1067

0.4350

1.2269

-2.7857

14.4601

12.1916

-7.7755

5h55m

2.0741

0.4950

1.2594

-2.7359

14.2313

11.8671

-7.8551

6h00m

2.0385

0.5540

1.2925

-2.6837

14.0068

11.5426

-7.9346

6h05m

1.9998

0.6119

1.3263

-2.6290

13.7867

11.2181

-8.0142

6h10m

1.9581

0.6686

1.3607

-2.5716

13.5712

10.8936

-8.0937

6h15m

1.9133

0.7239

1.3957

-2.5115

13.3607

10.5691

-8.1732

6h20m

1.8653

0.7776

1.4313

-2.4484

13.1552

10.2446

-8.2527

6h25m

1.8142

0.8297

1.4674

-2.3824

12.9550

9.9201

-8.3321

6h30m

1.7598

0.8797

1.5040

-2.3133

12.7605

9.5956

-8.4116

6h35m

1.7022

0.9277

1.5410

-2.2411

12.5718

9.2711

-8.4910

6h40m

1.6414

0.9734

1.5783

-2.1655

12.3892

8.9466

-8.5704

6h45m

1.5774

1.0166

1.6159

-2.0866

12.2131

8.6221

-8.6498

6h50m

1.5103

1.0570

1.6537

-2.0043

12.0436

8.2975

-8.7292

6h55m

1.4400

1.0945

1.6916

-1.9185

11.8811

7.9730

-8.8085

7h00m

1.3667

1.1288

1.7294

-1.8291

11.7258

7.6485

-8.8879

7h05m

1.2904

1.1598

1.7671

-1.7363

11.5781

7.3239

-8.9672

7h10m

1.2113

1.1871

1.8045

-1.6399

11.4382

6.9994

-9.0466

7h15m

1.1295

1.2107

1.8415

-1.5401

11.3064

6.6749

-9.1259

7h20m

1.0452

1.2302

1.8780

-1.4368

11.1831

6.3503

-9.2051

7h25m

0.9586

1.2455

1.9138

-1.3301

11.0684

6.0258

-9.2844

7h30m

0.8699

1.2564

1.9488

-1.2203

10.9628

5.7012

-9.3637

7h35m

0.7793

1.2628

1.9827

-1.1073

10.8663

5.3767

-9.4429

7h40m

0.6872

1.2644

2.0154

-0.9914

10.7794

5.0521

-9.5221

7h45m

0.5938

1.2612

2.0469

-0.8729

10.7021

4.7275

-9.6013

7h50m

0.4995

1.2531

2.0768

-0.7520

10.6348

4.4030

-9.6805

7h55m

0.4046

1.2400

2.1051

-0.6289

10.5776

4.0784

-9.7597

8h00m

0.3095

1.2220

2.1316

-0.5039

10.5306

3.7538

-9.8388

8h05m

0.2147

1.1989

2.1563

-0.3775

10.4941

3.4293

-9.9180

8h10m

0.1204

1.1709

2.1789

-0.2499

10.4681

3.1047

-9.9971

8h15m

0.0271

1.1380

2.1993

-0.1216

10.4527

2.7801

-10.0762

8h20m

-0.0647

1.1004

2.2176

0.0071

10.4480

2.4555

-10.1553

8h25m

-0.1548

1.0583

2.2336

0.1357

10.4539

2.1309

-10.2344

8h30m

-0.2428

1.0118

2.2473

0.2640

10.4704

1.8063

-10.3135

8h35m

-0.3282

0.9611

2.2586

0.3914

10.4976

1.4817

-10.3925

8h40m

-0.4108

0.9065

2.2677

0.5177

10.5353

1.1571

-10.4715

8h45m

-0.4901

0.8484

2.2744

0.6424

10.5833

0.8325

-10.5505

 


Les deux tableaux suivants donnent les valeurs des paramètres A, B, C, dD/dt, D, X et Y avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Les trois premiers paramètres sont sans dimension, dD/dt est en secondes de degré par minute de temps, D, X et Y sont en minutes de degré.


T

UTC

A

B

C

dD/dt
"/min

D

'

X

'

Y

'

8h50m

-0.5661

0.7869

2.2789

0.7653

10.6417

0.5079

-10.6295

8h55m

-0.6383

0.7224

2.2811

0.8860

10.7101

0.1833

-10.7085

9h00m

-0.7067

0.6552

2.2813

1.0043

10.7884

-0.1413

-10.7875

9h05m

-0.7709

0.5857

2.2794

1.1198

10.8764

-0.4659

-10.8664

9h10m

-0.8310

0.5141

2.2755

1.2324

10.9739

-0.7905

-10.9454

9h15m

-0.8867

0.4409

2.2699

1.3419

11.0806

-1.1152

-11.0243

9h20m

-0.9380

0.3663

2.2625

1.4482

11.1962

-1.4398

-11.1032

9h25m

-0.9849

0.2905

2.2535

1.5511

11.3204

-1.7644

-11.1821

9h30m

-1.0273

0.2140

2.2432

1.6506

11.4531

-2.0891

-11.2610

9h35m

-1.0653

0.1370

2.2314

1.7466

11.5938

-2.4137

-11.3398

9h40m

-1.0989

0.0598

2.2185

1.8390

11.7424

-2.7383

-11.4186

9h45m

-1.1281

-0.0175

2.2045

1.9279

11.8985

-3.0630

-11.4975

9h50m

-1.1531

-0.0945

2.1896

2.0133

12.0618

-3.3876

-11.5763

9h55m

-1.1740

-0.1711

2.1738

2.0953

12.2320

-3.7123

-11.6551

10h00m

-1.1908

-0.2471

2.1573

2.1738

12.4089

-4.0370

-11.7338

10h05m

-1.2036

-0.3222

2.1402

2.2490

12.5921

-4.3616

-11.8126

10h10m

-1.2127

-0.3964

2.1225

2.3209

12.7814

-4.6863

-11.8913

10h15m

-1.2181

-0.4696

2.1044

2.3896

12.9766

-5.0109

-11.9701

10h20m

-1.2200

-0.5414

2.0860

2.4553

13.1773

-5.3356

-12.0488

10h25m

-1.2184

-0.6120

2.0673

2.5180

13.3833

-5.6603

-12.1275

10h30m

-1.2137

-0.6811

2.0484

2.5778

13.5945

-5.9850

-12.2061

10h35m

-1.2058

-0.7488

2.0293

2.6349

13.8104

-6.3096

-12.2848

10h40m

-1.1950

-0.8148

2.0102

2.6893

14.0310

-6.6343

-12.3634

10h45m

-1.1813

-0.8792

1.9911

2.7412

14.2560

-6.9590

-12.4421

10h50m

-1.1649

-0.9419

1.9719

2.7907

14.4852

-7.2837

-12.5207

10h55m

-1.1460

-1.0028

1.9529

2.8379

14.7183

-7.6084

-12.5993

11h00m

-1.1247

-1.0620

1.9339

2.8828

14.9553

-7.9331

-12.6779

11h05m

-1.1010

-1.1194

1.9151

2.9257

15.1960

-8.2578

-12.7564

11h10m

-1.0752

-1.1749

1.8964

2.9665

15.4401

-8.5825

-12.8350

11h15m

-1.0473

-1.2286

1.8779

3.0055

15.6875

-8.9072

-12.9135

11h20m

-1.0175

-1.2804

1.8596

3.0426

15.9380

-9.2319

-12.9920

11h25m

-0.9858

-1.3303

1.8415

3.0780

16.1916

-9.5566

-13.0705

11h30m

-0.9524

-1.3783

1.8237

3.1118

16.4480

-9.8813

-13.1490

11h35m

-0.9174

-1.4244

1.8061

3.1440

16.7072

-10.2060

-13.2275

 


Les deux tableaux suivants donnent les paramètres de réduction pour les instants des contacts et du maximum du passage géocentrique.

 

T

UTC

j

k

l

m

n

dX/dt

"/min

dY/dt

"/min

cosw

sinw

5h 13m 33.157s

2.4279

-0.4882

-0.1898

-0.9438

-2.2817

-3.9162

-0.9618

-0.4431

 0.8965

5h 32m 49.815s

2.4603

-0.2825

-0.1098

-0.9565

-2.2817

-3.9163

-0.9610

-0.4911

 0.8711

8h 19m 43.545s

2.0244

 1.4264

 0.5547

-0.7873

-2.2815

-3.9178

-0.9546

-0.9716

 0.2367

11h 6m 37.141s

0.5619

 2.4118

 0.9384

-0.2186

-2.2813

-3.9191

-0.9481

-0.8368

-0.5475

11h 25m 53.846s

0.3573

 2.4505

 0.9535

-0.1390

-2.2813

-3.9193

-0.9474

-0.8058

-0.5921

 

 

T

UTC

A

B

C

dD/dt

"/m

D

'

X

'

Y

'

5h 13m 33.157s

2.2606

-0.0194

1.0110

-3.0846

16.2379

14.5568

-7.1951

5h 32m 49.815s

2.1970

 0.2237

1.1206

-2.9394

15.2751

13.3058

-7.5022

8h 19m 43.545s

-0.0597

 1.1026

2.2167

 0.0000

10.4480

2.4733

-10.1510

11h 6m 37.141s

-1.0929

-1.1376

1.9090

 2.9391

15.2746

-8.3629

-12.7819

11h 25m 53.846s

-0.9799

-1.3390

1.8383

 3.0842

16.2374

-9.6149

-13.0846